1.概念

什么是中缀表达式，什么是后缀表达式?

从小学开始学习的四则运算，例如：3+(5*(2+3)+7) 类似这种表达式就是中缀表达式。中缀表达式人脑很容易理解，各个算符的优先级，人脑也很容易判断，先算括弧里的，再算*，再算+，-

但是这种表达式很不利于计算机计算，通过某种方式把前缀表达式转换为后缀表达式方便计算机进行计算，如3+(5*(2+3)+7)的后缀表达式就是3,5,2,3,+,*,7,+, +。这个表达式计算机很容易计算，为什么容易计算，通过算法流程2，就会一个深入的理解。

2.算法流程

如何把中缀表达式转换成后缀表达式?比如说3+(5*(2+3)+7)的转成后缀表达式的流程如何？

操作符优先级:

• +,- 小于*，/
• + 等于 -
• * 等于 /

左括号和右括号作为特殊操作符特殊处理。(碰到’(’不用判断优先级直接入操作符栈，碰到’)’,也不用判断优先级,直接出操作符栈)

大致算法掌握以下几个流程：

准备两个栈，一个是数字栈A，一个是操作符栈(+,-,*,/(,))B等

1.0 对于数字栈A，遇到数字直接入栈A。

2.0 对于操作符栈B，分几种情况

2.1 碰到 ‘(‘操作符直接入栈

2.2 碰到 ‘)’操作符，不停的把操作符栈B出栈，直到遇到’)’。（把’(’到’)’之间的弹出的操作符依次入栈A）

2.3 碰到’+,-,* /’比较当前元素（假设当前元素current）和B栈栈顶的操作符(假设栈顶元素是top)的优先级.

2.3.1 如果top >= current, B栈出栈且循环比较，直到top < current退出循环，且把 current入栈

2.3.2 如果top < current, 直接把current入B栈

3.0 扫描完整个字符串，如果B栈中还有操作符，依次出栈入A

按照上面算法演示3+(5*(2+3)+7)的流程：

1，碰到3，3入A栈 [3,]
2，碰到+，入B栈   [+,]
3，碰到(，入B栈   [+,(]
4，碰到5，入A栈   [3,5]
5，碰到*，*的优先级大于 (,入B栈[ +,(,*]
6，碰到(,入B栈[ +,(,*,(]
7，碰到2，入A栈   [3,5,2]
8，碰到+,入B栈[ +,(,*,(,+]
9，碰到3，入A栈   [3,5,2,3]
10，碰到),弹出B栈，直接到 ‘(‘，把弹出的操作符入A栈。B:[ +,(,*] A:[3,5,2,3,+]
11，碰到+, +的优先级小于B的栈顶元素 *，所以*从B出栈，入A,并把+入B。B:[ +,(,+] A:[3,5,2,3,+,*]
12，碰到7，入A栈   [3,5,2,3,+,*,7]
13，碰到),弹出B栈，直接到 ‘(‘，把弹出的操作符入A栈。B:[ +] A:[3,5,2,3,+,*,7,+]
14, 扫描完整个字符串，判断B是否为空，不为空把B栈的元素弹出，入A。当前不为空，所以最终A栈的元素为 A:[3,5,2,3,+,*,7,+, +]

所以最终A的后缀表达式是3,5,2,3,+,*,7,+, +

计算机拿到这个会怎么计算呢？流程如下：

• 碰到数字直接入栈
• 碰到操作符，直接弹出两个栈顶元素，通过操作符计算，把结果压入栈

通过步骤1，2循环计算，最终栈里只会有一个元素，这个就是表达式的结果。

我们来演练一下：

1,碰到数字3,5,2,3直接入栈A[3,5,2,3]
2,碰到+，弹出栈顶2，3，相加得5 入栈A[3,5,5]
3,碰到*，弹出栈顶5，5，相乘得25 入栈A[3,25]
4,碰到7，直接入栈A[3,25,7]
5,碰到+，弹出栈顶25，7，相加得32 入栈A[3,32]
6,碰到+，弹出栈顶3，32，相加得35 入栈A[35]

通过上面可以得知，计算机很容易计算，从左扫描到右就能把结果得出。

3 代码实现

mid2post 求后缀表达式

calcPostExp 拿到后缀表达式求值

cmpPriority 优先级比较

//优先级
bool cmpPriority(char top, char cur)//比较当前字符与栈顶字符的优先级，若栈顶高，返回true
{
	if ((top == '+' || top == '-') && (cur == '+' || cur == '-'))
		return true;
	if ((top == '*' || top == '/') && (cur == '+' || cur == '-' || top == '*' || top == '/'))
		return true;
	if (cur == ')')
		return true;
	return false;
}

求后缀表达式求值

vector<string> mid2post(string &str)
{

	vector<string>vstr;
	stack<char>cstack;
	for (int i = 0;i<str.size();++i)//扫描字符串
	{
		string temp = "";
		if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9')//若是数字
		{
			temp += str[i];
			while (i + 1<str.size() && str[i + 1] >= '0' && str[i + 1] <= '9')
			{
				temp += str[i + 1];//若是连续数字
				++i;
			}
			vstr.push_back(temp);
		}
		else if (cstack.empty() || str[i] == '(')//若栈空或者字符为'('
			cstack.push(str[i]);
		else if (cmpPriority(cstack.top(), str[i]))//若栈顶元素优先级较高，栈顶元素出栈
		{
			if (str[i] == ')')//若当前字符是右括号，栈中元素出栈，入字符串数组中，直到遇到'('
			{
				while (!cstack.empty() && cstack.top() != '(')
				{
					temp += cstack.top();
					cstack.pop();
					vstr.push_back(temp);
					temp = "";
				}
				cstack.pop();
			}
			else//栈中优先级高的元素出栈，入字符串数组，直到优先级低于当前字符
			{
				while (!cstack.empty() && cmpPriority(cstack.top(), str[i]))
				{
					temp += cstack.top();
					cstack.pop();
					vstr.push_back(temp);
					temp = "";
				}
				cstack.push(str[i]);
			}
		}
		else//当前字符优先级高于栈顶元素，直接入栈
			cstack.push(str[i]);
	}
	while (!cstack.empty())//栈中还存在运算符时，出栈，存入字符串数组
	{
		string temp = "";
		temp += cstack.top();
		cstack.pop();
		vstr.push_back(temp);
	}
	return vstr;
}

对后缀表达式进行求值，主要是根据运算符取出两

int calcPostExp(vector<string> & vstr)//对后缀表达式进行求值，主要是根据运算符取出两个操作数进行运算
{
	int num, op1, op2;
	stack<int>opstack;
	for (int i = 0;i<vstr.size();++i)
	{
		string temp = vstr[i];
		if (temp[0] >= '0' && temp[0] <= '9')//如果当前字符串是数字，利用字符串流转化为int型
		{
			stringstream ss;
			ss << temp;
			ss >> num;
			opstack.push(num);
		}
		else if (vstr[i] == "+")//若是操作符，取出两个操作数，进行运算，并将结果存入
		{
			op2 = opstack.top();
			opstack.pop();
			op1 = opstack.top();
			opstack.pop();
			opstack.push(op1 + op2);
		}
		else if (vstr[i] == "-")
		{
			op2 = opstack.top();
			opstack.pop();
			op1 = opstack.top();
			opstack.pop();
			opstack.push(op1 - op2);
		}
		else if (vstr[i] == "*")
		{
			op2 = opstack.top();
			opstack.pop();
			op1 = opstack.top();
			opstack.pop();
			opstack.push(op1*op2);
		}
		else if (vstr[i] == "/")
		{
			op2 = opstack.top();
			opstack.pop();
			op1 = opstack.top();
			opstack.pop();
			opstack.push(op1 / op2);
		}
	}
	return opstack.top();//最终的栈顶元素就是求解的结果
}

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